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La sagesse des foules
Mis à jour le .
Personne ne devine juste, et pourtant la moyenne de tout le monde tombe pile. Fais estimer le poids d'un bœuf à toute une foire, règle la taille d'un jury, puis laisse les gens se copier et regarde la sagesse de la foule s'effondrer.
Choisis ton niveau et ta façon de lire : tu peux en changer à tout moment.
Étape 0 : Le bœuf de Galton
Chaque visiteur·se se trompe, parfois de plus de cent livres. Mais quand on rassemble des centaines d'estimations faites chacune de son côté, les erreurs vers le haut et vers le bas se compensent : la moyenne et la valeur du milieu tombent tout près du vrai poids, bien plus près que la plupart des individus.
Estimations simulées. Seul le poids réel du bœuf, 1 197 livres, vient de l'histoire.
🟢 Découverte
À une foire, des centaines de personnes essaient de deviner le poids d'un bœuf. Chacune se trompe. Augmente le nombre d'estimations et regarde la moyenne s'approcher du vrai poids.
🟡 Curieux
Ce n'est pas de la magie : chaque estimation mêle un peu de vérité et une erreur personnelle. Si les erreurs partent dans tous les sens, celles vers le haut compensent celles vers le bas. Plus il y a d'estimations, plus la compensation est bonne, et la moyenne finit par battre presque tous les individus.
🔴 Ingénieur
Si n erreurs indépendantes ont chacune un écart type σ, l'erreur de leur moyenne a un écart type σ/√n : quatre fois plus d'estimations divisent l'erreur par deux. La médiane, la valeur du milieu, résiste mieux aux réponses absurdes ; la moyenne exploite mieux toutes les réponses quand elles sont raisonnables. Les estimations de l'animation sont tirées au hasard autour du vrai poids (écart type de 75 livres).
Un peu d'histoire
En 1907, le statisticien britannique Francis Galton étudie les tickets d'un concours d'une foire aux bestiaux de l'ouest de l'Angleterre : il fallait deviner le poids du bœuf une fois abattu et préparé. Il garde 787 estimations lisibles. Il publie dans la revue Nature la valeur du milieu, la médiane, qu'il préfère pour une raison démocratique : « un vote, une valeur ». Elle tombe à moins de 1 % du poids réel.
Un lecteur, R. H. Hooker, estime à peu près la moyenne ; Galton lui répond en donnant la valeur exacte : 1 197 livres. En 2014, en relisant les archives, K. F. Wallis montre que Galton s'était trompé de quelques livres dans ses chiffres publiés, et que le poids réel était… 1 197 livres. La moyenne tombait pile.
Galton est aussi celui qui a forgé le mot « eugénisme ». En 2020, l'University College London a retiré son nom d'un amphithéâtre, en raison de ses liens avec ce mouvement.
Idées reçues
« Galton voulait prouver la bêtise des foules. » C'est un récit souvent répété, mais son article de 1907 parle surtout de la valeur d'un vote démocratique ; et c'est un lecteur qui a mis la moyenne en avant. Les histoires trop belles méritent qu'on relise la source.
Étape 1 : Une erreur partagée
Si tout le monde se trompe dans le même sens, par exemple parce que le bœuf paraît plus gros sous la lumière de la foire, la moyenne hérite de cette erreur. Ajouter des estimations ne la corrige pas : les erreurs ne se compensent que si elles partent dans tous les sens.
Estimations simulées. Seul le poids réel du bœuf, 1 197 livres, vient de l'histoire.
🟢 Découverte
Et si tout le monde se trompait dans le même sens ? Ajoute une erreur commune : la moyenne ne s'en remet pas, même avec des centaines de personnes.
🟡 Curieux
Les erreurs ne se compensent que si elles sont indépendantes et variées. Une même rumeur, une même lumière trompeuse, une même façon de penser : tout ce qui pousse tout le monde dans la même direction s'ajoute au lieu de s'annuler. Une foule homogène est sûre d'elle, pas forcément juste.
🔴 Ingénieur
Chaque estimation vaut ici « vrai poids + erreur commune + erreur personnelle ». La moyenne fait disparaître l'erreur personnelle (en σ/√n), mais garde l'erreur commune entière. C'est la différence, en statistique, entre l'erreur aléatoire et le biaisBiais — En statistique, une erreur qui va toujours dans le même sens, au lieu de partir au hasard dans tous les sens. Faire la moyenne de beaucoup de mesures efface les erreurs au hasard, mais pas un biais..
Idées reçues
« Plus on est nombreux, plus on a raison. » Seulement si chacun·e apporte une information différente. Mille personnes qui ont lu le même message trompeur valent à peine plus qu'une seule.
Étape 2 : Le jury de Condorcet
Si chaque membre d'un jury a un peu plus d'une chance sur deux d'avoir raison (55 %), et que chacun·e vote sans copier les autres, la majorité a raison 63 % du temps avec 11 personnes, 84 % avec 101, presque toujours avec 1 001. Mais si chacun·e a un peu moins d'une chance sur deux (45 %), c'est l'inverse : plus le groupe est grand, plus la majorité se trompe sûrement.
🟢 Découverte
Pour une question à deux réponses, un groupe qui vote à la majorité a-t-il plus souvent raison qu'une seule personne ? Règle la chance de chacun·e d'avoir raison et la taille du groupe.
🟡 Curieux
Si chacun·e a un peu plus d'une chance sur deux d'avoir raison, et vote sans copier les autres, la majorité a de plus en plus souvent raison quand le groupe grandit. Mais si chacun·e a un peu moins d'une chance sur deux, la majorité se trompe de plus en plus sûrement. Le nombre amplifie ce qu'il y a dans chaque tête, dans un sens comme dans l'autre.
🔴 Ingénieur
Le nombre de votes justes suit une loi binomiale de paramètres n et p ; la majorité a raison quand ce nombre dépasse n/2. L'animation calcule cette somme exactement. Le théorème suppose des votes indépendants et une même compétence pour tous : des causes communes (mêmes informations, mêmes influences) créent des corrélations qui affaiblissent le résultat.
Un peu d'histoire
En 1785, le mathématicien et philosophe Nicolas de Condorcet publie un Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Il y cherche à quelles conditions un tribunal ou une assemblée décide juste. Son résultat est devenu le « théorème du jury », toujours discuté par les philosophes de la démocratie.
Idées reçues
« La majorité a toujours raison. » Le théorème de Condorcet dit exactement le contraire de ce raccourci : la majorité n'a raison que si ses membres ont, chacun·e, plus de chances d'avoir raison que tort, et ne se copient pas.
Étape 3 : Quand on se copie
Vingt personnes répondent l'une après l'autre ; chacune a un indice juste 65 fois sur 100. Si chacune répond selon son indice, la majorité a raison environ neuf fois sur dix. Si chacune voit les réponses précédentes, dès que deux réponses de plus vont dans un sens, il devient raisonnable de les suivre plutôt que son propre indice : c'est une cascade. Dans environ une file sur quatre, elle part dans la mauvaise direction, et tout le monde se trompe ensemble.
Simulation du modèle de cascade informationnelle (Bikhchandani, Hirshleifer et Welch, 1992).
🟢 Découverte
Vingt personnes répondent l'une après l'autre. Chacune a un indice personnel, juste deux fois sur trois environ. Compare une file où chacun·e répond seul·e et une file où chacun·e voit les réponses précédentes.
🟡 Curieux
Voir ce que les autres ont fait est souvent raisonnable : ils savent peut-être quelque chose. Mais dès que plusieurs réponses vont dans le même sens, chacun·e les suit plutôt que son propre indice, et cet indice est perdu pour tout le monde. La file se met à se copier : c'est une cascade informationnelle. Elle peut partir dans la mauvaise direction à cause des toutes premières réponses.
🔴 Ingénieur
Dans le modèle de 1992, chaque personne combine son indice privé et ce qu'elle déduit des choix précédents. Dès que deux choix de plus vont dans un sens, aucun indice privé ne peut renverser la balance : chacun·e suit, et ses choix n'apportent plus d'information. Ici, avec des indices justes 65 fois sur 100, la majorité se trompe environ une fois sur quatre en cascade, contre une fois sur dix environ quand chacun·e répond seul·e.
Un peu d'histoire
En 1992, S. Bikhchandani, D. Hirshleifer et I. Welch décrivent ces cascades, dans une revue d'économie, pour expliquer les modes, les conformismes locaux et la « fragilité » des comportements de masse.
En 2011, une expérience menée à l'ETH de Zurich par J. Lorenz et ses collègues l'a observé en laboratoire : 144 participant·es estiment des quantités (géographie, criminalité), parfois en voyant les réponses des autres. L'influence sociale réduit la diversité des réponses sans réduire l'erreur collective, rejette parfois la vraie valeur au bord de l'éventail, et rend les participant·es plus sûr·es d'eux sans les rendre plus justes. Une petite expérience, mais qui va dans le même sens que le modèle.
Idées reçues
« Si tout le monde fait pareil, c'est que c'est la bonne solution. » Peut-être, ou peut-être que tout le monde copie les deux ou trois premiers. Les classements de popularité des plateformes peuvent produire le même effet : voir la boucle de popularité.
Faire confiance à la foule ?
Une foule n'est pas sage par nature. Elle peut l'être quand quelques conditions sont réunies, et se tromper avec assurance quand elles manquent.
| Condition | Pourquoi | Ce qui la casse |
|---|---|---|
| Chacun·e sait un peu quelque chose | Le jury de Condorcet ne marche que si chacun·e a plus de chances d'avoir raison que tort. | Une question où presque personne n'a d'indice. |
| Des erreurs variées | Les erreurs ne se compensent que si elles partent dans tous les sens. | Une même source trompeuse pour tout le monde. |
| Des réponses indépendantes | Chaque réponse doit apporter sa propre information. | Voir les réponses des autres avant de répondre : cascades, conformisme. |
| Une bonne façon de rassembler | Moyenne, médiane, vote : il faut un calcul qui combine toutes les réponses. | Ne retenir que les plus bruyant·es, ou les premier·es. |
Rassembler des réponses n'est qu'une forme d'intelligence collective. Les suivantes demandent de travailler ensemble : écrire une encyclopédie, cartographier un pays, délibérer à des milliers. C'est la suite de la section L'intelligence collective.